Obszar (matematyka)

Zobacz też: Obszar w innych znaczeniach tej nazwy.

Obszar – zbiór otwarty i spójny w przestrzeni euklidesowej^[1] lub ogólniej w przestrzeni topologicznej^[2]. Obszar domknięty to domknięcie ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {O}}}}$ obszaru (otwartego) ${\displaystyle {\mathfrak {O}}}$^[3].

Zbiór domknięty ${\displaystyle \mathrm {Fr} \,{\mathfrak {O}}={\overline {\mathfrak {O}}}\setminus {\mathfrak {O}}}$ nazywa się brzegiem obszaru ${\displaystyle {\mathfrak {O}}.}$ Punkty ${\displaystyle X\in {\mathfrak {O}}}$ nazywane są punktami wewnętrznymi obszaru ${\displaystyle {\mathfrak {O}},}$ a także punktami wewnętrznymi obszaru domkniętego ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {O}}}.}$ Punkty ${\displaystyle X\in \mathrm {Fr} \,{\mathfrak {O}}}$ nazywane są punktami brzegowymi obszaru ${\displaystyle {\mathfrak {O}},}$ a także punktami brzegowymi obszaru domkniętego ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {O}}}}$^[4].

Pojęcia te mają podstawowe znaczenie w analizie zespolonej. Przykładami obszarów na płaszczyźnie zespolonej są: cała płaszczyzna, wnętrze kąta, koło otwarte (bez brzegu), prostokąt otwarty (bez brzegu). W szczególności obszarem jest też każdy zbiór otwarty, którego brzeg można opisać krzywą Jordana.

Obszar ${\displaystyle {\mathfrak {O}}\subset \mathbb {C} }$ nazywa się obszarem jednospójnym, jeśli każdą zawartą w nim pętlę można w sposób ciągły zdeformować do punktu, pozostając cały czas w obszarze (pętla jest w ${\displaystyle {\mathfrak {O}}}$ ściągalna do punktu)^[5]. Brzeg takiego obszaru ma wtedy jedną składową spójności. Ogólniej, brzeg obszaru może mieć ${\displaystyle k}$ składowych, gdzie ${\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty .}$ Jeśli ${\displaystyle k>1,}$ to obszar nazywa się obszarem wielospójnym. Liczba ${\displaystyle k}$ jest nazywana rzędem spójności. Jeśli ${\displaystyle k=2,}$ obszar jest nazywany obszarem dwuspójnym, jeśli ${\displaystyle k=3}$ – obszarem trzyspójnym itd. Jeśli ${\displaystyle k<\infty ,}$ to obszar nazywamy obszarem skończeniespójnym, a jeśli ${\displaystyle k=\infty }$ – obszarem nieskończeniespójnym^[5].